Sistem persamaan linear tiga variabel adalah kumpulan dari tiga persamaan linear yang memiliki tiga variabel. Persamaan linear sendiri adalah bentuk persamaan yang terdiri dari variabel-variabel yang hanya memiliki pangkat satu. Contoh persamaan linear adalah 2x + 3y = 10.
Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Ada beberapa cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel, di antaranya adalah metode eliminasi Gauss dan metode substitusi. Kedua metode ini memiliki langkah-langkah yang berbeda, namun pada akhirnya akan menghasilkan nilai variabel yang sama.
Metode Eliminasi Gauss
Metode eliminasi Gauss adalah metode yang dilakukan dengan melakukan eliminasi variabel pada setiap persamaan secara bertahap. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menyusun persamaan linear dalam bentuk matriks augmented. Matriks augmented adalah matriks yang terdiri dari koefisien variabel dan konstanta pada setiap persamaan.
Setelah persamaan linear disusun dalam bentuk matriks augmented, langkah selanjutnya adalah melakukan eliminasi variabel. Eliminasi variabel dilakukan dengan mengurangkan baris yang berisi koefisien variabel yang sama pada persamaan lain. Misalnya, jika pada persamaan pertama terdapat variabel x dengan koefisien 2 dan pada persamaan kedua juga terdapat variabel x dengan koefisien 2, maka baris pertama dikurangi dengan baris kedua sehingga koefisien variabel x pada baris kedua menjadi 0.
Setelah melakukan eliminasi variabel pada setiap persamaan, langkah selanjutnya adalah memperoleh nilai variabel. Nilai variabel dapat diperoleh dengan melakukan substitusi nilai variabel pada persamaan yang sudah disederhanakan. Dalam metode eliminasi Gauss, nilai variabel yang diperoleh akan berupa nilai yang sudah disederhanakan.
Metode Substitusi
Metode substitusi adalah metode yang dilakukan dengan mengganti salah satu variabel dengan bentuk persamaan yang sudah disederhanakan pada variabel lain. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah memilih salah satu variabel yang akan dieliminasi. Variabel yang akan dieliminasi dipilih berdasarkan variabel yang memiliki koefisien terkecil atau terbesar pada setiap persamaan.
Setelah variabel yang akan dieliminasi dipilih, langkah selanjutnya adalah mengganti variabel tersebut dengan bentuk persamaan yang sudah disederhanakan pada variabel lain. Misalnya, jika pada persamaan pertama terdapat variabel x dengan koefisien 2 dan pada persamaan kedua terdapat variabel x dengan koefisien 1, maka variabel x pada persamaan pertama dapat diganti dengan bentuk persamaan (10-3y)/2 pada persamaan kedua.
Setelah melakukan substitusi pada variabel yang akan dieliminasi, langkah selanjutnya adalah memperoleh nilai variabel. Nilai variabel dapat diperoleh dengan melakukan substitusi nilai variabel pada persamaan yang masih memiliki variabel. Dalam metode substitusi, nilai variabel yang diperoleh akan berupa nilai yang belum disederhanakan.
Contoh Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel
Berikut adalah contoh penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel dengan menggunakan metode eliminasi Gauss:
3x + 2y + z = 10
2x – y + 3z = -1
x + 3y – 2z = 13
Matriks augmented dari sistem persamaan linear di atas adalah:
[ 3 2 1 | 10 ]
[ 2 -1 3 | -1 ]
[ 1 3 -2 | 13 ]
Langkah pertama adalah mengurangi baris kedua dengan baris pertama dikalikan dengan 2/3:
[ 3 2 1 | 10 ]
[ 0 -7/3 5/3 | -7/3 ]
[ 1 3 -2 | 13 ]
Selanjutnya, mengurangi baris ketiga dengan baris pertama dikalikan dengan 1/3:
[ 3 2 1 | 10 ]
[ 0 -7/3 5/3 | -7/3 ]
[ 0 7/3 -5/3 | 7/3 ]
Langkah terakhir adalah mengurangi baris ketiga dengan baris kedua dikalikan dengan 1/7:
[ 3 2 1 | 10 ]
[ 0 -7/3 5/3 | -7/3 ]
[ 0 0 1 | 2 ]
Setelah melakukan eliminasi variabel pada setiap persamaan, nilai variabel z diperoleh dengan mudah. Selanjutnya, variabel y dapat diperoleh dengan substitusi nilai variabel z pada persamaan yang belum disederhanakan. Setelah itu, nilai variabel x dapat diperoleh dengan substitusi nilai variabel y dan z pada persamaan yang belum disederhanakan.
Kesimpulan
Sistem persamaan linear tiga variabel adalah kumpulan dari tiga persamaan linear yang memiliki tiga variabel. Ada beberapa metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel, di antaranya adalah metode eliminasi Gauss dan metode substitusi. Metode eliminasi Gauss dilakukan dengan melakukan eliminasi variabel pada setiap persamaan secara bertahap. Sedangkan metode substitusi dilakukan dengan mengganti salah satu variabel dengan bentuk persamaan yang sudah disederhanakan pada variabel lain. Dalam melakukan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel, sangat diperlukan ketelitian dan kesabaran dalam memilih metode yang tepat serta melakukan perhitungan yang akurat.
